Sur le comportement en temps long d'une population structurée en trait et en âge
Probabilités et Statistique
On considère une population où les individus diffèrent de part leur âge $a\in \mathbb{R}_+$ et un trait phénotypique $x\in \mathcal{S}\subset \mathbb{R}^d$ (compact). Un individu $(x,a)$ meurt à taux $D(x,a)$ et se reproduit à taux $B(x,a)$. Lors de la reproduction, des mutations peuvent apparaitre (avec une probabilité $p\in\left]0,1\right[$) et modifier le trait du parent suivant une densité $k(x,a,y)dy$.
La dynamique d'une telle population (finie) est décrite par un processus à valeurs mesures $(Z_t(dx,da),t\geq 0)$ approché en grande population par une solution $(v_t(x,a),t\geq 0)$ de l'équation aux dérivées partielles linéaire (cf. [4]):
$$
\begin{cases}
\partial_t v_t(x,a)+\partial_a v_t(x,a)=-D(x,a)v_t(x,a),\quad (t,x,a)\mathbb{R}_+\times\mathcal{S}\times\mathbb{R}_+,\\
v_t(x,0)=(1-p)\int_{\mathbb{R}_+}B(x,\alpha)v_t(x,\alpha)d\alpha+p\int_{\mathcal{S}\times\mathbb{R}_+}B(y,\alpha)k(y,\alpha,x)dyd\alpha.
\end{cases}
$$
Le comportement en temps long de ces deux modèles est lié aux éléments propres principaux $(\lambda^{*},N(x,a),\phi(x,a))$ du générateur de l'équation aux dérivées partielles linéaire. En étudiant les propriétés spectrales d'une famille d'opérateurs positifs sur un espace de mesures (cf [2], [3]), nous montrons l'existence d'une valeur propre principale (parfois nommée paramètre de Malthus) et de mesures propres associées pouvant admettre des singularités aux traits maximisant la "fitness". Lorsque ces mesures admettent une densité continue et bornée, nous en déduisons des résulats de convergence des solutions vers la distribution stable. Ces résultats étendent notamment [1] à des populations structurées en âge.
Références
[1] Olivier Bonnefon, Jérôme Coville, and Guillaume Legendre. Concentration phenomenon in some non-local equation. arXiv preprint arXiv:1510.01971, 2015.
[2] Jérôme Coville. On a simple criterion for the existence of a principal eigenfunction of some nonlocal operators. Journal of Differential Equations, 249(11) :2921–2953, 2010.
[3] Jérôme Coville. Singular measure as principal eigenfunction of some nonlocal operators. Applied Mathematics Letters, 26(8) :831–835, 2013.
[4] Regis Ferriere and Viet Chi Tran. Stochastic and deterministic models for age-structured populations with genetically variable traits. In ESAIM : Proceedings, volume 27, pages 289–310. EDP Sciences, 2009.
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