Le bord de Martin de groupes de convergence.

C’est un travail basé sur nos deux preprints récents dont le premier est avec I. Gekhtman (Yale), V. Guerassimov (Belo-Horisonté) et W. Yang (Pekin) et l’autre avec M. Dussaule (Nantes), Gekhtman et Guerassimov.

On considère une marche aléatoire sur le graphe de Cayley d’un groupe de type fini correspondant à une mesure symétrique de probabilité dont le support engendre le groupe. Rappelons que la compactification de Martin est le plus petite compactification du graphe de Cayley à laquelle tous les noyaux de Martin s’étendent de façon continue. Le bord de cette compactification est le bord de Martin. Le but de notre premier papier est de comparer le bord de Martin avec un bord géométrique de Floyd qui est un bord universel pour toute l’action de convergence géométriquement finie d’un groupe G. L’un des résultats principaux de notre premier papier est qu’il existe une application continue et équivariante du bord de Martin sur le bord de Floyd d’un groupe de type fini G. En particulier si G est un groupe relativement hyperbolique et possède une action minimale et géométriquement finie, notre application se prolonge à une application équivariante et continue du bord de Martin sur l’ensemble limite de cette action. L’application est presque partout injective, en particulier l’image réciproque d’un point conique est un seul point.

La preuve utilise essentiellement notre généralisation de l’inégalité de Ancona démontrée dans les années 80 par A. Ancona pour les groupes hyperboliques et qui donne l’hyperbolicité du graphe de Cayley par rapport à la distance de Green. Nous démontrons un analogue de cette inégalité dans le cas beaucoup plus général qui affirme que pour tous 3 sommets distincts A, B et C du graphe de Cayley toute marche aléatoire entre A et B rencontre avec une grande probabilité la boule centrée au point C de rayon R, où R dépend de la distance de Floyd (de visibilité) entre A et B à partir de C.

Un problème qui restait grand ouvert après notre premier preprint est de décrire l’image reciproque d’un point parabolique est de montrer, en particulier, que c’est le bord de Martin de son stabilisateur (pour les mesures correspondantes). Ceci nous avons réussi à faire dans le 2ème papier et dans un cas particulier si le groupe G est hyperbolique par rapport aux sous-groupes virtuellement abéliens. Nos méthodes précédentes, plus une généralisation très profonde d’un travail classique de Ney-Spitzer des années 60 faite par Matthieu Dussaule nous a permis de décrire complètement le bord de Martin de G dans ce cas. Il s’obtient de l’ensemble limite en remplaçant chaque point parabolique par la sphère de dimension d-1 où d est le rank du groupe parabolique maximal.