Décompositions à la Steinberg sur une catégorie additive

On doit à Robert Steinberg deux fameux théorèmes de décomposition pour les représentations simples de groupes linéaires. L'un affirme notamment que les représentations simples de dimension finie sur $\mathbb{C}$ de $SL_n(\mathbb{C})$ sont exactement les produits tensoriels entre une représentation simple polynomiale et une représentation simple de $SL_n(\mathbb{Z}/N)$ pour un entier $N>0$ (vue comme représentation de $SL_n(\mathbb{Z})$ via le morphisme canonique induit par la réduction modulo $N$). L'autre exprime les représentations rationnelles simples du groupe algébrique $GL_n$ en caractéristique positive comme des produits tensoriels de torsions de Frobenius itérées de représentations simples élémentaires.

Dans le travail en cours avec Antoine Touzé et Christine Vespa dont je parlerai dans cet exposé, nous donnons deux théorèmes analogues (et généralisant, pour l'un d'entre eux) ces résultats dans le contexte des représentations d'une petite catégorie additive sur un corps commutatif, ainsi que quelques applications.