Lieux de zéros et actions de tores : Grassmanniennes Bisymplectiques

Les lieux de zéros de sections de fibrés vectoriels sur les grassmanniennes peuvent être utilisés pour construire des variétés intéressantes : par exemple, en font partie les deux familles de variétés hyper-kahlerienne de Beauville-Donagi et Debarre-Voisin.

Dans cet exposé je présenterai une classe particulière de lieux de zéros Fano, les grassmanniennes bisymplectiques (I2G). Les grassmanniennes bisymplectiques, qui paramétrisent les sous-espaces d'un espace vectoriel isotropes par rapport à deux formes antisymétriques, admettent une action d'un tore T avec un nombre fini de points fixes. Quand les sous-espaces sont de dimension maximale, on obtient une variété homogène (produit de P^1) dont on connaît bien la cohomologie, alors que dans le cas général I2G n'est pas homogène. Pourtant, on peut encore en étudier la géométrie et la cohomologie à l'aide de l'action de T (e.g., à l'aide de la décomposition en cellules de Bialynicki-Birula). En particulier, j'expliquerai comment obtenir une formule de Chevalley équivariante dans le cas où les sous-espaces sont de dimension 2, ce qui permet en principe de récupérer la cohomologie (équivariante) de I2G dans le cas le plus simple.