Sur la conjecture de Malle et le problème de Grunwald

En théorie inverse de Galois, la conjecture de Malle donne un résultat asymptotique sur le nombre d'extensions galoisiennes de groupe fini donné, sur un corps de nombre fixé et dont la norme du discriminant est bornée. Nous présenterons une démarche permettant d'établir la partie minoration de la conjecture pour tout groupe fini $G$ et pour tout corps contenant un certain corps de nombres $K_0$. La démonstration utilise les spécialisations d'une extension galoisienne $F/K(T)$ et une forme effective du théorème d'irréductibilité de Hilbert sur un corps de nombres. Nous expliquerons également comment notre démarche conduit à des résultats sur un problème connu du domaine : le problème de Grunwald.