Sur le calcul pratique des séries de Puiseux

Soit $K$ un corps et $F\in K[x][y]$ un polynôme de degré $d_y$. On supposera dans cet exposé que $K$ est un corps de nombre ou un corps fini de caractéristique $>d_y$. Nous nous intéresserons au calcul des séries de Puiseux, résumant dans les grandes lignes 10 ans de travaux sur le sujet. Après avoir exposé la motivation initiale de ces travaux, nous donnerons les idées de l'algorithme de Newton-Puiseux en présentant les outils via un exemple. La seconde partie sera consacrée à une stratégie modulaire-numérique quand $K$ est un corps de nombres : un précalcul modulo un premier $p$ bien choisi calcule la structure des séries de Puiseux (i.e. les exposants apparaissant dans la série ; en particulier les indices de ramification). Ensuite, on se sert de ces calculs pour calculer une approximation numérique des coefficients. Cette seconde partie sera illustrée en suivant un exemple. Enfin, nous résumerons les avancées sur la complexité de l'algorithme et de différentes variantes introduites. Nous conclurons l'exposé en esquissant les limites de cet algorithme, et une piste pour contourner ces dernières. Ces travaux ont été fait en collaboration avec Marc Rybowicz dans un premier temps, et Martin Weimann plus récemment.