Faux-plans réels et courbes paramétrées

D’après un célèbre théorème de Nash de 1952, toute variété différentielle compacte, même très compliquée, admet des modèles algébriques réels, c’est-à-dire définis par des polynômes à coefficients réels. La question abordée dans cet exposé est en quelque sorte opposée, existe-t-il des modèles « exotiques » d’une variété algébrique très simple : le plan R² ?  
À travers des exemples explicites, nous verrons qu’il existe une infinité de tels « faux-plans réels » et que leur structure est intimement liée à la classification certaines courbes paramétrées dont les coordonnées sont des fractions rationnelles.