Topologie des lissages de singularités non-isolées de surfaces complexes.

Cette thèse s’intéresse à la topologie des lissages des singularités non-isolées de sufaces complexes. La question est celle de la description de la topologie de la variété, appelée fibre de Milnor, qui survient lors de ce procédé de lissage. Devant la difficulté de décrire la totalité de cette topologie, beaucoup de recherches se sont concentrées sur le bord de la fibre de Milnor. Dans le cas des singularités isolées, il est connu depuis les travaux de Mumford (1961), que ce bord est une variété graphée, égale au bord de la singularité. Différents résultats (Michel & Pichon 2003, 2014, Némethi & Szilárd 2012) ont par la suite prouvé que dans le cas des singularités réduites non-isolées, le bord de la fibre de Milnor est encore une variété graphée, en imposant à l’espace total du lissage d’être lui-même lisse. Fernández de Bobadilla & Menegon-Neto (2014) ont quant à eux élargi le contexte, considérant le cas d’une surface non réduite dans un espace total à singularité non-isolée. Dans ce travail, on poursuit l’extension de ce résultat à un plus large contexte, autorisant l’espace total du lissage à présenter des singularités non-isolées, tout en imposant à la surface d’être réduite. Notre preuve s’inspire de celle de Némethi et Szilard, permettant comme chez eux de produire une méthode pour le calcul de cette variété. Dans le contexte de la géométrie torique, pour des singularités Newton-non-dégénérées, cette méthode étend celle proposée par Oka (1986) pour les singularités isolées. Elle prend dans ce cas la forme d’une manipulation combinatoire, exprimant le bord de la fibre de Milnor grâce à la seule donnée du polyèdre de Newton de la fonction. Ceci permet le calcul effectif d’une grande quantité d’exemples, représentant un progrès dans la quête de la compréhension des variétés pouvant apparaître comme bords de fibres de Milnor.