A cohomology-preserving functor between fusion systems and stable module categories

Étant donné un groupe fini G et un entier premier p, les théorèmes de Sylow assurent l'existence de p-sous-groupes maximaux de G et donnent certaines de leurs relations. Ces énoncés amènent naturellement à cherche ce que pourrait être une "p-localisation" du groupe G.

 

D'une part, la théorie de la p-fusion s'est montrée être un bon cadre pour étudier les propriétés p-locales de G. Par exemple, un résultat de Cartan et Eilenberg affirme que la cohomologie mod p de G est entièrement déterminée par la cohomologie mod p de ses p-sous-groupes et l'action de la fusion. L'introduction par Puig des systèmes de fusion a donné à la théorie un cadre catégorique robuste.

 

Un autre candidat important pour la p-localisation est la catégorie stable des modules, provenant de la théorie des représentations modulaires. Cette catégorie a une structure importante (monoïdale triangulée) et a des liens profonds avec les propriétés p-locales de G. Notament, le cohomologie (de Tate), munie de sa structure d'algèbre graduée, est donnée par les endomorphismes de l'unité tensorielle.

 

Dans cet exposé, j'introduis un foncteur $\Gamma$, préservant la cohomologie, entre la sous-catégorie pleine des objets centriques du système de fusion de G et la catégorie stable des modules.