De la combinatoire des mots à la géométrie et à la théorie des nombres, en passant par les fractions continues

Géométrie Dynamique

Lieu: 
Salle Duhem M3
Orateur: 
Pierre Arnoux
Affiliation: 
Université d'Aix-Marseille
Dates: 
Vendredi, 21 Février, 2020 - 10:15 - 11:15
Résumé: 
Les rotations peuvent être codées de façon naturelle par leurs intervalles de continuité, ce qui donne des suites symboliques particulièrement simples, les suites sturmiennes. Ces suites peuvent être comprimées de façon très efficace par une suite de morphisme, et cette suite de morphismes est une version symbolique du développement en fraction continue, le décalage sur cette suite de morphisme correspondant à l’application de Gauss (ou de Farey, suivant la version choisie). Il y a un modèle simple de l’extension naturelle de cette application de Gauss, qui est aussi une application de premier retour en une section bien choisie du flot géodésique sur la surface modulaire. 
 
On présentera ces résultats bien connus, et on passera quelques petits films montrant diverses vues de ce flot géodésique; on revisitera en passant quelques propriétés amusantes des fractions continues.

 

On sait, depuis les travaux pionniers d'Adler-Weiss, de Sinaï et de Bowen, que les systèmes hyperboliques ont des partitions de Markov. Adler-Weiss présentait une telle partition de Markov explicite pour le 2-tore, mais Bowen a prouvé que dans des dimensions supérieures, les partitions de Markov non triviales doivent avoir des limites fractales.

 

Nous montrerons comment on peut généraliser les constructions précédentes pour construire des partitions de Markov explicites en utilisant des substitutions sur des mots; dans certains cas, cela permet de construire des conjugaisons entre un automorphisme pseudo-Anosov sur une surface de genre g et un tore de dimension g.

 

Nous montrerons également comment on peut étendre cette construction d'un automorphisme à une séquence infinie d'automorphismes, en utilisant une fraction continue multidimensionnelle (le cas d'un automorphisme correspond à une orbite périodique pour cette fraction continue).

Mentions Légales

Directeur de publication: Benoît FRESSE

Hébergeur: Laboratoire Paul Painlevé