Quelques problèmes de contrôle de pollution des eaux

On s’intéresse dans cette présentation à deux problèmes de pollution :

une pollution en eau peu profonde dans un canal et une pollution d’origine agricole

en sous-sol.

Dans le premier cas, l’équation de Korteweg-de-Vries avec un contrôle au bord

modélisera l’amplitude d’une vague entrainant les particules polluées en dehors du

canal. On introduira un problème de contrôle optimal afin de minimiser l’action

générant cette vague, tout en prenant en compte la contrôlabilité lagrangienne du

modèle, assurant ainsi que toutes les particules sont sorties du canal. On démontrera

l’existence d’une solution optimale au problème et on présentera les conditions

nécessaires d’optimalité.

Pour le deuxième cas, on considère un problème de contrôle optimal de conta-

mination d’origine agricole d’eau souterraine, dans le cas d’un nécessaire compro-

mis économique entre l’utilisation d’engrais et les coûts de dépollution. Le modèle

est constitué d’une EDP parabolique non linéaire (réaction-convection-diffusion)

couplée par le tenseur de dispersion et le terme de convection à une EDP elliptique.

On s’intéressera au cas particulier des faibles concentrations du polluant en sous-sol

pour lequel l’unicité de la solution sera démontrée. Des résultats numériques et des

outils d’aide à la prise de décision seront présentés. Le cadre de travail sera étendu

à la théorie des jeux, avec un résultat d’existence et d’unicité d’un équilibre de Nash.