Estimation de fonctionnelles de Poisson par des mélanges

La méthode de Malliavin-Stein combine la méthode de Stein avec une
intégration par parties grâce au calcul de Malliavin pour obtenir des
bornes quantitatives entre la loi d'une fonctionnelle d'un processus
Gaussien et une loi cible (typiquement la loi normale). Cette méthode a
historiquement été développé par D. Nualart & S. Ortiz-Latorre et I.  
Nourdin & G. Peccati afin de donner une preuve alternative et
quantitative des théorèmes du moment quatrième (Nualart-Peccati et
Peccati-Tudor).
Depuis la méthode a été généralisée à des fonctionnelles d'autres
processus pour lesquels une intégration par partie existe. En
particulier pour des fonctionnelles de processus de Poisson, méthode
développée initialement par G. Peccati , J-L. Solé , M. S. Taqqu & F.  
Utzet. Depuis cette méthode a permis d'établir des résultats
asymptotiques importants en géométrie stochastique (par ex,
Last-Peccati-Schulte). Récemment un théorème du moment quatrième a été
établi sur l'espace de Poisson par G. Peccati & C. Döbler pour
l'approximation gaussienne.
Dans cet exposé, je présenterai certains développements récents de la
méthode de Malliavin-Stein sur l'espace de Poisson. J'insisterai sur un
de mes résultats s'intéresse à l'estimation de fonctionnelles de Poisson
par des mélanges gaussiens (variable normale avec variance aléatoire) et
par des mélanges poissoniens (variable poissonienne avec moyenne
aléatoire). J'obtiens des conditions nécessaires et quantitatives pour
la convergence stable de loi de fonctionnelles de Poisson vers un de ces
mélanges. Cela donne en particulier une version stable du théorème du
moment quatrième sur l'espace de Poisson. Je présenterai ensuite une
application sur un modèle jouet venu des processus stochastiques.  
Finalement, je présenterai quelques questions ouvertes en lien avec la
géométrie stochastique.