Mouvement Brownien réfléchi dans un cône: étude du cas transient. Probabilité de fuite, fonctions de Green et frontière de Martin.

Un des problèmes les plus classique dans la littérature consacré au mouvement brownien réfléchi dans un cône bidimensionnel est l'étude de sa distribution stationnaire dans le cas récurrent. Nous nous intéresserons en revanche dans cet exposé au cas transient afin d'étudier les fonctions de Green de ce processus et leur asymptotique. Cela nous mènera naturellement à considérer la frontière de Martin du processus qui permet de déterminer les fonctions harmoniques satisfaisant des conditions de Neumann obliques sur les bords. Pour certains modèles nous illustrerons cela en étudiant la probabilité de fuite du processus le long d'un axe ou encore sa probabilité d'absorption à l'origine.

Pour établir nos résultats, nous utilisons des méthodes analytiques historiquement développées en probabilités et en combinatoire pour étudier les marches dans le quadrant. Nous partons d'équations fonctionnelles que satisfont les transformées de Laplace des fonctions de Green et des probabilités de fuite ou d'absorption. La théorie des problèmes frontière (de Riemann et de Carleman) permet de déterminer des formules explicites pour ces transformées impliquant des fonctions hypergéométriques. La méthode du point col et des lemmes de transfert permettent quant à eux de calculer l'asymptotique et d'établir la frontière de Martin.