Homologie groupes classiques sur un corps parfait infini, et des foncteurs polynomiaux sur une catégorie additive

(Travail en commun avec A. Djament)

 

 

Soit G(k) un groupe algébrique classique sur un corps k. On dispose de deux notions de cohomologie pour G: 

1) sa cohomologie de groupe algébrique, adaptée aux problèmes de la géométrie algébrique,

2) sa cohomologie de groupe discret, adaptée aux problèmes de la topologie algébrique.

 

Un théorème fondamental de Cline Parshall Scott et Van der Kallen compare ces deux cohomologies lorsque k est un corps fini. Dans cet exposé, nous présenterons un résultat analogue lorsque k est un corps parfait infini. Ce résultat est à notre connaissance le premier dans le contexte des corps infinis, et il est surprenant car la cohomologie de groupe algébrique de G(k) possède d'excellentes propriétés de finitude, qui n'étaient pas connues pour la cohomologie de groupe discret.

 

Nous expliquerons que notre résultat de comparaison en homologie des groupes découle en fait d'un nouveau théorème d'homologie des foncteurs. Plus précisément nous présenterons un théorème qui relie les Tor ou les Ext entre deux foncteurs polynomiaux F et G de source une petite catégorie A additive et Fp-linéaire et de but les k-espaces vectoriels, aux Tor ou Ext dans la catégorie des foncteurs strictement polynomiaux. Notre théorème généralise un théorème célèbre de Franjou Friedlander Suslin et Scorichenko (qui correspond au cas très spécial où la catégorie A est celle des espaces vectoriels de dimension finie sur un sous-corps fini de k).