Non annulation simultanée de fonctions L sur GL(3)

Le principal objectif de cette thèse est de calculer le premier moment mixte des fonctions L associées aux formes de Hecke--Maass sur SL(3) et des fonctions L de Dirichlet associées. Cela permettra de déduire dans un second temps un résultat de non-annulation simultanée. En utilisant des méthodes standard telles que la moyenne après l'application des équations fonctionnelles approximées, nous prouvons que dans un premier temps que le premier moment en s=1/2+a est non nul pour a un complexe de partie réelle supérieure à 1/10. En comparant ce résultat à ceux connus sur SL(2), ce résultat n'est pas satisfaisant car il ne couvre pas le cas où a=0. La principale difficulté du cas de SL(3) est de faire la moyenne sur les coefficients de Fourier des formes de Maass, qui se comportent moins bien que pour SL(2). Une autre difficulté importante est la longueur des sommes à évaluer qui est plus importante. Dans ce type de problème, une manière d'améliorer le terme d'erreur est de rajouter une moyenne additionnelle. Nous faisons pour cela une moyenne sur les modules des caractères de Dirichlet les choisissant correctement un bon ensemble. Nous constaterons que cela nous permet de prendre la partie réelle du paramètre égale à 1/18. Ce n'est toujours pas suffisant pour obtenir un résultat en la valeur centrale. Afin d'obtenir un résultat en 1/2, nous serons obligé de supposer vrai une conjecture folklorique supplémentaire : les coefficients des formes de Hecke--Maass sur SL(3) satisfont une annulation en racine carré en moyenne, de la même manière que celles sur SL(2). Puisque le moment est non nul, au moins un des termes de la somme est non nul, ce qui implique la non annulation d'un des produit de fonctions L considérées pour une infinité de caractères de Dirichlet.