La conjecture de mélange de Michel—Venkatesh (sous GRH)

Les problèmes de Linnik, résolus par Duke il y a une trentaine d’années, portent sur l’équidistribution des orbites toriques de grand discriminant dans les espaces homogènes associés aux formes intérieures de $\mathrm{GL}_2$. L’exemple le plus concret est celui de la répartition uniforme des points entiers sur la sphère, parfois appelés points de Linnik (on peut également penser aux points CM sur la courbe modulaire). Par leur description comme orbite torique, les points de Linnik reçoivent une action transitive du groupe de Picard d’un ordre quadratique. Dans les proceedings de l’ICM en 2006, Michel et Venkatesh ont proposé une conjecture, dite « de mélange », qui mesure la complexité de cette action. Selon cette conjecture, le point initial et le point final des segments d’orbites s’équidistribuent selon la mesure produit, lorsque la longueur du segment grandit avec le discriminant; il s’agit donc d’un raffinement quadratique des problèmes de Linnik. J’expliquerai une preuve de cette conjecture, conditionnelle sous l’hypothèse de Riemann généralisée, obtenue récemment avec Valentin Blomer et Ilya Khayutin.