Bicatégories de Krull-Schmidt

Les catégories de Krull-Schmidt sont des catégories additives dans lesquelles on a l'assurance que tout objet se décompose en une somme directe d'objets indécomposables d'une façon essentiellement unique. Une catégorie abélienne semisimple est de Krull-Schmidt, mais aussi la catégorie des représentations linéaires de dimension finie d'un groupe fini (sur n'importe lequel corps). 

 

Les catégories de Krull-Schmidt étant extrêmement utiles en théorie des représentations classique, on peut essayer d'en généraliser la théorie au domaine des "représentations supérieures".

 

Par exemple, on peut parler de bicatégories additives, c'est à dire de bicatégories dont les catégories Hom et les foncteurs de composition sont additifs et où on peut former les sommes directes finies d'objets.  Un exemple basique est donné par la 2-catégorie des petites catégories additives. Dans cet exposé je vais présenter une notion simple de bicatégorie additive de Krull-Schmidt pour laquelle on a un théorème d'unicité des décompositions en objets indécomposables. (Les petites catégories additives ne forment PAS un exemple.) Parmis les exemples on trouve la 2-catégorie des "2-espaces vectoriels finis" de Kapranov-Voevodsky, ou plus en général toute 2-catégorie semisimple, mais aussi (encore conjecturellement pour l'instant!) toute 2-catégorie de 2-représentations d'un 2-groupe fini sur un corps arbitraire.