Fonctions de Matrices de Toeplitz symétriques

Le calcul numérique d'une fonction de matrice f(A) avec A matrice carrée de Toeplitz ou Toeplitz-like trouve son intérêt dans divers domaines mathématiques, que ce soit lors de la semi-discrétisation des équations intégrales ou pour des systèmes de filtres. Or, les méthodes classiques de calcul de fonctions de matrices ne nécessitant aucune structure particulière de la matrice A sont de complexité O(n^3). Dans cette thèse, inspirée de l'étude réalisée par D. Kressner et R. Luce sur le calcul de la fonction de matrice exp(T) avec T matrice carrée de Toeplitz, nous cherchons à réduire cette complexité à O(n^2) voire O(n log^2(n)) en exploitant la structure Toeplitz-like de la matrice A , notamment à l'aide d'approximants rationnels de notre fonction f . Après avoir donné quelques rappels concernant les fonctions de matrices et leur approximation, nous définissons une arithmétique sur les matrices Toeplitz-like, formant un sous-ensemble de matrices permettant des opérations rapides comme l’addition, la multiplication ou l’inversion, en complexité O(n^2) voire O(n log^2 n). A l’aide de cette nouvelle arithmétique, nous nous attardons ensuite sur l’approximation des fonctions de matrices racine carrée et signe pour lesquelles nous reprenons et accélérons la méthode de Newton sous ses différentes formes. Enfin nous nous intéressons à l'approximation des fonctions de matrices f(A) par r(A) lorsque f est une fonction de Markov et A une matrice de Toeplitz symétrique. Nous énonçons alors l’un de nos principaux résultats qui est une borne supérieure pour l’erreur relative d’interpolation rationnelle sur l’intervalle spectral de A. Cette borne est ensuite optimisée par un choix particulier des points d’interpolation, permettant de donner de nouvelles et simples estimations d'erreur a priori et a posteriori, et un calcul fiable, efficace et simple en arithmétique exacte. Pour mieux comprendre l'effet de la précision finie, nous discutons trois méthodes différentes et efficaces de calcul de r(A) , notamment celle des fractions continues de Thiele à coefficients positives, une classe à ce jour peu évoquée dans la littérature. Des nombreuses expériences numériques confirment que ces trois approches donnent une petite erreur pour un argument scalaire, mais seulement une d'entre elles pour A une matrice de Toeplitz symétrique.