Solutions des équations différentielles stochastiques: analyse asymptotique par la méthode de Malliavin-Stein et estimation statistique.

Cette thèse porte essentiellement sur une étude analytique et statistique des équations différentielles stochastiques (EDS). La grande souplesse du Calcul de Malliavin et de la méthode de Stein-Malliavin permet de considérer un large panorama d’EDS. Toute la thèse se placera dans cette vision variationnelle et asymptotique. Ainsi seront considérées les équations différentielles aux dérivées partielles stochastiques (EDPS) suivantes : l’équation des ondes avec un bruit gaussien fractionnaire en temps et blanc en espace, l’équation de Burger avec un bruit blanc en temps et espace, l’équation de la chaleur fractionnaire avec un bruit blanc en temps et colorié en espace et finalement les équations de Langevin avec un bruit non gaussien de type Hermite. Dans un premier temps, nous étudierons les variations quadratiques de l’équation des ondes par une décomposition en ondelettes de la solution qui permet un contrôle de régularité ainsi que les variations quadratiques du processus de Hermite-Ornstein–Uhlenbeck, solution de l’équation de Langevin perturbée par le processus de Hermite, pour obtenir des résultats asymptotiques de convergence et de contrôle en loi. Ces résultats nous permettrons de définir un estimateur pour le paramètre de Hurst et d’étudier ses propriétés. Par ergodicité nous donnerons aussi un estimateur pour le paramètre de diffusion. Dans un second temps nous décomposerons la solution de l’équation de Burger en somme de deux processus, l’un qui s’identifie avec la solution de l’équation de la chaleur linéaire et l’autre correspondant au terme non linéaire. Nous montrerons par une analyse fine du noyau et de sa dérivée que ce dernier est plus régulier et qu’ainsi il n’affecte pas les p-variations de la solution. En regardant la solution en des temps discrets ou en des points discrets nous pourrons alors estimer le paramètre de drift par l’étude des variations d’ordre deux (en espace) et d’ordre quatre (en temps). Dans chaque cas nous étudierons la consistance forte et son erreur pour la convergence Lp. La troisième partie portera sur l’étude asymptotique de la moyenne spatiale sur la sphère de la solution de l’équation de la chaleur fractionnaire avec un bruit multiplicatif général, qui inclut le très populaire bruit blanc temps-espace et le non moins populaire bruit blanc en temps et colorié en espace dont la covariance spatiale est donnée par le noyau de Riesz. On montre que correctement renormalisée, la moyenne converge en variation totale vers une loi gaussienne et qu’elle vérifie un théorème central limite fonctionnel. Finalement, la dernière partie est consacrée à l’étude de l’intégrale stochastique par rapport au processus de Hermite généralisé, processus non gaussien dont le coefficient d’auto-similarité est défini sur tout l’intervalle (0, 1). Nous pouvons définir une intégrale de type Wiener et Riemann-Stieljes, ce qui permet de regarder le processus de Hermite- Ornstein–Uhlenbeck généralisé et de montrer que ces deux intégrales coïncident dans ce cas. Nous montrerons également que la solution converge (dans un sens à définir) quand le drift tend vers zéro vers le processus de Hermite généralisé.