Sur le comportement local des trajectoires des processus multifractionnaires de Surgailis

(travail joint avec Antoine Ayache)

Les processus multifractionnaires sont des processus stochastiques avec des accroissements non stationnaires dont la régularité locale et les propriétés d’auto-similarité changent d’un point à un autre. L’exemple paradigmatique de ces processus est le mouvement brownien multifractionnaire classique (MBM) {M(t)}t∈R de Benassi, Jaffard, Lévy Véhel, Peltier et Roux, qui a été construit au milieu des années 1990 en remplaçant le paramètre de Hurst constant H du bien connu mouvement brownien fractionnaire par une fonction d ́eterministe H(t) qui respecte une certaine condition de régularité désignée par (C). Plus de dix ans après, en utilisant une méthode de construction différente qui repose sur des opérateurs d’intégration et de dérivation fractionnaires non homogènes, Surgailis a introduit deux processus multi-fractionnaires non classiques notés {X(t)}t∈R et {Y (t)}t∈R.

L’objectif de notre exposé est de montrer que sous la condition (C) les processus {M(t)}t∈R et {X(t)}t∈R tout comme les processus {M(t)}t∈R et {Y(t)}t∈R diffèrent d’une partie plus régulière que {M(t)}t∈R lui même. On en déduit ainsi que les processus multifractionnaires non classiques {X(t)}t∈R et {Y (t)}t∈R ont exactement le même comportement local que le MBM {M(t)}t∈R. D’un point de vue statistique, notre résultat permet également de construire un estimateur du paramètre fonctionnel des processus de Surgailis.