Calibrations pour un problème à discontinuités libres avec condition de Robin

On présente un problème à discontinuité libre inspiré par l’énergie d’une configuration d’isolation thermique. Ce problème a été étudié par Caffarelli–Kriventsov et Bucur–Giacomini en relaxant la fonctionnelle dans SBV. Il consiste alors à minimiser

E(u)=\int |∇u|2dLn + \int  (u−)2 +(u+)2  dHn−1 +Ln({u>0}) 

parmi les fonctions u∈SBV(R ) telles que u=1 sur un domaine fixé Ω⊂R.

Au contraire des fonctionnelles convexes, un compétiteur u qui satisfait les équations d’Euler- Lagrange n’est pas forcément un minimiseur global (ni même un minimiseur local). Dans [3], Alberti, Bouchitte et Dal Maso ont proposé une relaxation convexe pour les fonctionnelles à discontinuités libres. Le fait que u minimise la relaxation est caractérisé par l’existence d’un champ de vecteur particulier appelé calibration. En pratique, on ne sait pas si tous les minimiseur de E(u) admettent des calibrations et un tel champ de vecteur peut être difficile à construire.

Le but de l’exposé est de comprendre les calibrations pour notre problème et d’en construire pour démontrer différents critères de minimalité.