L'injectivité dans la conjecture des sections

Soit $X$ une courbe projective et lisse, géométriquement
connexe, sur un corps de nombres $K$.
La conjecture des sections affirme que les points rationnels de $X$ sont
en correspondance bijective
avec les sections (à conjugaison près) de la suite exacte reliant
groupes fondamentaux géométriques et arithmétiques, et le groupe de
Galois absolu de $K$.
La partie facile de la conjecture est l'injectivité de l'application qui
envoie un point rationnel sur une classe de conjugaison de sections, la
preuve repose sur le théorème de Mordell-Weil.