Sur le schéma en groupes fondamental abélien d'une famille de variétés

Soit $S$ un schéma de Dedekind connexe et $X$ un schéma sur $S$ muni d'une
section $x$. On montrera que le morphisme canonique de $X$ vers son schéma
d'Albanese $\mathbf{Alb}_{X/S}$ (quand il existe) induit une suite exacte de
schémas en groupes $$\xymatrix{0\ar[r]
&(\mathbf{NS}^{\tau}_{X/S})^{\vee}\ar[r] &\pi_1(X,x)^{ab}\ar[r] &
\pi_1(\mathbf{Alb}_{X/S},0_{\mathbf{Alb}_{X/S}}) \ar[r] & 0}$$
où $(\mathbf{NS}^{\tau}_{X/S})^{\vee}$ est un $S$-schéma en groupes fini et
plat et $\pi_1$ dénote le schéma en groupes fondamental. On montrera aussi
que tout torseur fini, commutatif, quotient et pointé au dessus de la fibre
générique $X_{\eta}$ de $X$ peut être étendu à un torseur au dessus de $X$
ayant mêmes propriétés.