Un schéma volumes finis basé sur les flux stationnaires pour des équations de convection-diffusion

Dans cet exposé, nous nous intéresserons à la résolution numérique d'équations de convection-diffusion non-linéaires munies de conditions de flux nuls ou/et Dirichlet non-homogènes au bord. Pour une certaine classe de non-linéarités, ces équations admettent une large gamme d'entropies relatives assurant la convergence de la solution en temps long vers l'état stationnaire.

Nous proposerons un schéma volumes finis construit à partir des flux discrets de l'équation stationnaire et préservant toutes ces fonctionnelles de Lyapunov. Cela nous permettra d'obtenir un comportement en temps long précis au niveau discret ainsi que les estimations nécessaires pour assurer la convergence du schéma. Nous illustrerons par des simulations numériques le bon comportement en temps long du schéma sur différents modèles, tels que l'équation de Fokker-Planck avec champ magnétique ou l'équation des milieux poreux. Ce travail a été réalisé en collaboration avec Francis Filbet.