Positivité du champ libre gaussien coupé en fréquence sur une région prescrite du plan

Soit $U$ un ouvert borné du plan à bord lisse. Le champ libre gaussien (CLG) qui est une distribution aléatoire sur $U$ censée modéliser une interface libre entre deux fluides. Pour obtenir une fonction mesurable aléatoire, plusieurs méthodes sont possibles. Ici, on fixe $L>0$ et on projette $h$ sur l'espace des modes propres du laplacien de fréquence propre $<L$. On obtient $h_L$ le champ libre coupé en fréquence. On fixe alors $V$ un compact à bord lisse inclus dans $U$ et on étudie la probabilité que $h_L$ soit positif sur $V$ pour des grandes valeurs de L. L'asymptotique obtenue est liée à la capacité électrostatique de $V$ dans $U$. Pour arriver à ce résultat on combine des techniques d'analyse semi-classique et de champs log-correlés.