Cyclicité et bicyclicité dans les espaces $\ell^p$ et $\ell^p$ à poids

Pour $p \geq 1$ et $\beta \geq 0$,  on note $\ell^p_\beta(\mathbb{Z})$ l'espace des suites $u=(u_n)_{n\in \mathbb{Z}}$ vérifiant $(u_n |n|^{\beta})\in \ell^p(\mathbb{Z}) $. On dit qu'une suite $u=(u_n)_{n\in \mathbb{Z}}$ est cyclique (resp. bicyclcique) si le sous-espace engendré par $ \{(u_{n+k})_{n \in \mathbb{Z}},~ k \in \mathbb{N} \}$ (resp. $ \{(u_{n+k})_{n \in \mathbb{Z}},~ k \in \mathbb{Z} \}$) est dense dans $\ell^p(\mathbb{Z}$). On présentera dans cet exposé des conditions nécessaires et des conditions suffisantes à la cyclicité et à la bicyclicité dans $\ell^p_\beta(\mathbb{Z})$. Ces conditions sont données en terme de dimension de Hausdorff et de capacité de l'ensemble des zéros de la transformée de Fourier de $u$. On verra cependant que l'ensemble des zéros de la transformée de Fourier ne peut caractériser la cyclicité et la bicyclicité dans $\ell^p(\mathbb{Z})$ lorsque $1<p<2$.