Comportements asymptotiques, conditions aux limites et analyse numérique pour des modèles fluides.

Les recherches présentées dans cette HDR portent sur des questions aussi bien théoriques (recherche d’inégalités d’entropie, existence de solutions, limites de paramètres) que numériques (construction de conditions aux limites adaptées, dérivation, convergence et comportement asymptotique de schémas numériques).

Dans un premier chapitre le modèle de Navier-Stokes quantique est étudié. Pour celui-ci des résultats d’existence de solutions et de limites de paramètres sont obtenus en utilisant différentes techniques telles que l’ajout d’un terme de pression froide dans les équations, l’utilisation de solutions re-normalisées en vitesse, des inégalités d’entropie relative…

Le second chapitre est consacré au modèle de corrosion DPCM, modèle de dérive-diffusion dont l’originalité vient des conditions aux limites de type Robin-Fourier induisant un couplage fort. Pour ce modèle on commence par présenter un résultat d’existence de solutions. On fait ensuite l’étude (convergence, comportement asymptotique) d’un schéma volumes finis en espace et Euler implicite en temps.  

Dans un troisième chapitre, on s’intéresse à la construction de conditions aux limites adaptées pour différents problèmes. Dans un premier temps il s’agit de construire les conditions aux limites adaptées à un modèle fluide lorsque celui-ci est vu comme la limite hydrodynamique d’un modèle cinétique pour lequel on connaît les conditions aux limites. Dans un second temps, il s’agit de construire des conditions aux limites artificielles permettant de réduire à un domaine borné des problèmes initialement posés en domaine non borné.

Enfin, le dernier chapitre concerne l’équation de Gross-Pitaevskii (utilisée dans la modélisation des condensats de Bose-Einstein). En particulier, une classe d’intégrateurs exponentiels d’ordre élevé est développée et des schémas numériques permettant de préserver l’énergie sont étudiés.