Conception et analyse de schémas non-linéaires pour la résolution de problèmes paraboliques: application aux écoulements en milieux poreux.

L'objectif de cette thèse est de concevoir et d'analyser des schémas numériques performants pour la simulation d'écoulements complexes en milieux poreux.

Dans un premier temps nous proposons un schéma CVFE (Control Volume Finite Element) non-linéaire pour approcher la solution de l'équation de Richards anisotrope. La mobilité d'arête est gérée à l'aide d'une procédure de décentrement. Nous montrons d'abord que ce schéma est non-linéairement stable grâce à un contrôle de l'énergie physique, qu'il admet (au moins) une solution discrète et que la saturation est bornée entre 0 et 1. Ensuite nous montrons sous l'hypothèse faible de la régularité sur le maillage que la solution discrète converge vers la solution faible du problème continu. Enfin, en vue de mettre en évidence l'efficacité, la stabilité et la robustesse de la méthode, nous réalisons des tests numériques dans des cas isotropes et anisotropes.

Dans un second temps nous étudions un schéma Volumes finis (avec décentrement des mobilités) pour un modèle d'intrusion saline. Nous montrons qu'il préserve  au niveau discret les principales propriétés du problème continu: l'existence de solutions discrètes positives, la décroissance de l'énergie et le contrôle de l'entropie et sa dissipation. Nous montrons que la solution discrète converge vers la solution faible du problème continu. De plus, nous illustrons numériquement le comportement du modèle.

Enfin nous étudions le comportement en temps long d'un modèle d'intrusion saline. Il s'agit d'identifier les états stationnaires qui sont les minimiseurs d'une énergie convexe. Nous montrons pour le problème continu l'existence et l'unicité des minimiseurs de la fonctionnelle d'énergie, que les minimiseurs sont des états stationnaires et que ces états stationnaires sont radiaux et uniques. Pour différents jeux de paramètres, nous donnons une illustration numérique des états stationnaires et nous exhibons le taux de convergence.