Universalité de la carte Brownienne

Jean-François Le Gall et Grégory Miermont ont (chacun) montré qu’une quadrangulation aléatoire uniforme de la sphère à n faces converge après mise à l’échelle vers un objet limite appelé carte brownienne. Le Gall montre de plus que cet objet est universel, au sens où il apparaît également à la limite d’autres modèles de cartes discrètes, comme les q-angulations uniformes pour tout entier pair q. Je présenterai un résultat plus général de convergence de grandes cartes vers cette limite, en autorisant notamment des faces de différents degrés. En corollaire, on obtient la convergence de cartes de Boltzmann conditionnées à être grandes sous une hypothèse de moment d'ordre deux sur le degré des faces. La preuve repose essentiellement sur l’étude de grands arbres aléatoires dont chaque nœud possède une position spatiale, et qui convergent vers le serpent brownien.