Spectre de matrices de permutation à échelle microscopique

Les valeurs propres de matrices de permutation sont des
complexes de module 1, donc entièrement caractérisées par leurs
arguments. En considérant des permutations aléatoires de lois d'Ewens
(déformations à un paramètre de la loi uniforme), l'ensemble des angles
propres correctement normalisés converge (en un certain sens) vers un
processus ponctuel limite lorsque la taille des matrices tend vers
l'infini. A partir de ce processus limite, nous montrons que les
fluctuations du nombre de points dans un intervalle sont
asymptotiquement gaussiennes lorsque la longueur de l'intervalle tend
vers l'infini, avec certaines conditions sur les extrémités de
l'intervalle. Le principal outil dont nous nous servons pour prouver ce
résultat est un couplage faisant intervenir un processus de Poisson
invariant d'échelle.