La rationalité uniforme de la série de Poincaré de rélations d'équivalence p-adique et la conjecture d'Igusa sur des sommes exponentielles

La rationalité des séries de Poincaré associées avec famille définissable des relations équivalences dans quelques théories sur corps valués a été recherchée par Denef. Ce problème a une relation avec l'existence d'élimination des imaginaires des théories sur corps valués (voir le résultat de Hrushovski, Martin et Rideau). La théorie d'intégration motivique  nous aide pour montrer la dépendance uniforme dans corps locaux p-adiques de la rationalité des séries de Poincaré. Dans le chapitre 1 de cette thèse, je donne une extension du résultat sur la rationalité uniforme dans p des séries de Poincaré associées avec famille définissable des relations équivalences dans quelques théories sur corps valués dans lesquels élimination des imaginaires n'est pas prouvée comme théories sur structures analytiques. Ma méthode est que j'étends la théorie d'intégration motivique pour fonctions constructibles dans deux papiers de Cluckers et Loeser aux fonctions constructibles rationnelles. Autre problème important  dans la théorie des nombres est estimation des sommes exponentielles. Sommes exponentielles modulo p^m pour un nombre premier p et un nombre naturel m ont été étudiées par Igusa. Igusa a découvert une relation profonde entre estimation des sommes exponentielles avec pôles de la fonction zêta local d'Igusa et montré que si on a une estimation uniforme dans p et m des sommes exponentielles, on peut obtenir une formule sommatoire de Poisson pour Adèle de type de Siegel-Weil. Dans les chapitres 2, 3, 4, on va prouver quelques versions uniformes dans p et m de borne supérieure des sommes exponentielles donnés par le seuil log canonique ou par polyèdre de Newton.