Spécialisations d'extensions de K(T) en théorie inverse de Galois

Nous étudions les spécialialisations d'extensions galoisiennes $F/K(T)$ de groupe $G$ donné où $K$ est un corps de nombres. Par le théorème d'irréductibilité de Hilbert, on sait qu'il exite une infinité de spécialisations $T\mapsto t$ amenant à une extension galoisienne $F_t/K$ de groupe $G$. Par des outils de géométrie diophantienne et de théorie des nombres, une étude plus précise de ces spécialisations et des extensions obtenues permettent de donner des résultats de comptage lié au problème inverse de Galois. Nous expliquerons également comment notre démarche conduit à un résultat sur un problème connu du domaine : le problème de Grunwald.